Question

【題目】設數列，，的前項和分別為，，，且對任意的都有，已知，數列和是公差不為0的等差數列，且各項均為非負整數.

（1）求證：數列是等差數列；

（2）若數列的前4項刪去1項后按原來順序成等比數列，求所有滿足條件的數列；

（3）若，且，，求數列，的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）或或.（3），，.

【解析】

（1）根據得作差即可得證；

（2）分類討論刪除的項，分析等比數列的通項公式；

（3）求出，根據，所以，轉化為不等式恒成立求參數，即可得解.

解：（1）因為，①

所以，②

②-①得，

即，③

所以.④

④-③得，即

因為，所以數列是等差數列.

（2）在中，令得，

設數列的公差為，則，

因為數列的前4項，，，刪去1項后成等比數列，所以有

①若刪去或，剩下的三項連續，若成等比數列，則，則數列的通項公式為；

②若刪去，即，，成等比數列，則，解得或，則數列的通項公式為或；

③若刪去，即，，成等比數列，則，解得或，則數列的通項公式為或.

綜上所述，滿足條件的數列有或或.

（3），則，.

因為對任意的都有，所以對任意的都有.

設數列，的公差分別為，，則

，，

所以即①

因為對任意的都有，

所以，

整理得，，

所以，且由可得，②

因為數列，的各項均為非負整數，

所以由②得，.③

由①③得且，

故，，.