Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經過點（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知A，B為橢圓上兩點，直線AB與坐標軸不垂直．設T（x₀，0），若|AT|=|BT|，且|AB|=2，求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=2b²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+m．把直線AB方程代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出x₀的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）經過點(1，

2

2

)，
∴

1

a2

+

1

2b2

=1，…（2分）
又由t=

2

2

，得a²=2b²，…（4分）
代入上式得a=

2

，b=1，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+m．
把直線AB方程代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴由韋達定理得x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
其中△=8（2k²+1-m²）＞0，（7分）
∵|AB|=2，∴|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

2 2 k2+1 2k2+1-m2

2k2+1

=2，
化簡得m2=

2k2+1

2(k2+1)

 ．…（*）…（9分）
設AB中點為G（x_G，y_G），故xG=

x1+x2

2

=

-2km

2k2+1

，yG=

m

2k2+1

，
∵|AT|=|BT|，∴點T在線段AB的中垂線上，
故直線GT的方程為y-

m

2k2+1

=-

1

k

(x+

2km

2k2+1

)，
令y=0得x0=

-km

2k2+1

，即x02=

k2m2

(2k2+1)2

，（11分）
把（*）代入得x02=

k2

2(2k2+1)(k2+1)

=

1

2(2k2+ 1 k2 +3)

．…（13分）
又△=8（2k²+1-m²）=

4(2k2+1)2

k2+1

＞0恒成立，
即k∈R．
故x02≤

3-2 2

2

，即x₀∈[-

2- 2

2

，

2- 2

2

]．
∴x₀的取值范圍為[-

2- 2

2

，

2- 2

2

]．…（15分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的橫坐標的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．