Question

【題目】如圖，在正方體ABCD – A1B1C1D1中，點E，F，G分別是棱BC，A1B1，B1C1的中點．

（1）求異面直線EF與DG所成角的余弦值；

（2）設二面角A—BD—G的大小為θ，求 |cosθ| 的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，進而通過計算即可得解；

（2）計算得平面DBG和平面ABD的法向量n1和n2，通過計算cos＜n1，n2＞即可得解.

試題解析：

如圖，以{，， }為正交基底建立坐標系D—xyz．

設正方體的邊長為2，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，

B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)．

（1）因為＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，

＝ (1，2，2)，

所以·＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，

||＝＝，||＝3．

從而cos＜，＞＝＝＝，

即向量與的夾角的余弦為，

從而異面直線EF與DG所成角的余弦值為．

（2）＝(2，2，0)，＝ (1，2，2)．

設平面DBG的一個法向量為n1＝(x，y，z )．

由題意，得

取x＝2，可得y＝－2，z＝1．

所以n1＝(2，－2，1)．

又平面ABD的一個法向量n2＝＝(0，0，2)，

所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．

因此 |cosθ|＝．