Question

【題目】已知直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0，A、B兩點極坐標分別為（1，π）、（1，0）．
（1）求曲線C的參數方程；
（2）在曲線C上取一點P，求|AP|2+|BP|2的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0，

把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得C的直角坐標方程：x2+y2﹣4y+3=0，

配方為x2+（y﹣2）2=1，

可得參數方程： （α為參數）

（2）解：A、B兩點極坐標分別為（1，π）、（1，0），

分別化為直角坐標：（﹣1，0），（1，0）．

令P（cosα，2+sinα），

則|AP|2+|BP|2=（cosα+1）2+（2+sinα）2+（cosα﹣1）2+（2+sinα）2=8sinα+12，

當sinα=﹣1時，有最小值4；當sinα=1時，有最大值20

【解析】（1）曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0，把ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ代入可得C的直角坐標方程，配方可得參數方程．（2）A、B兩點極坐標分別為（1，π）、（1，0），分別化為直角坐標：（﹣1，0），（1，0）．令P（cosα，2+sinα），則|AP|2+|BP|2=8sinα+12，利用sinα的值域即可得出最值．