Question

【題目】設函數f(x)的定義域為R，并且圖象關于y軸對稱，當x≤－1時，y＝f(x)的圖象是經過點(－2,0)與(－1,1)的射線，又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0,2)，且經過點(1,1)的一段拋物線．

(1)試求出函數f(x)的表達式，作出其圖象；

(2)根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一個單調區間上函數是增函數還是減函數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法求出，結合奇偶性求出，最后利用待定系數法求出，作出圖即可；（2）根據圖形的上升、下降趨勢得到單調性.

(1)當x≤－1時，設f(x)＝ax＋b(a≠0)，由已知得

解得，所以f(x)＝x＋2(x≤－1)．

由于函數圖象關于y軸對稱，則由x≥1，得－x≤－1，f(－x)＝－x＋2，

且f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x＋2(x≥1)．

當－1<x<1時，設f(x)＝mx2＋2，由已知得m＝－1，即f(x)＝－x2＋2(－1<x<1)，所以函數f(x)的表達式為f(x)＝圖象如圖所示：

.

(2)從圖象可看出，函數f(x)的單調區間有(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1)，[1，＋∞)．

其中，f(x)在區間(－∞，－1]和(－1,0]上是增函數；在區間(0,1)和[1，＋∞)上是減函數．