Question

【題目】已知拋物線的方程為，直線過定點，斜率為，為何值時，直線與拋物線

（1）只有一個公共點；

（2）有兩個公共點；

（3）沒有公共點?

Answer 1

【答案】（1）或或，（2）且，（3）或

【解析】

首先設出直線方程，聯立直線方程與拋物線方程得到.

（1）將直線與拋物線只有一個公共點，轉化為方程只有一個根，再討論，再利用判別式求解即可.

（2）將直線與拋物線只有兩個公共點，轉化為方程只有兩個根，再利用判別式求解即可.

（3）將直線與拋物線沒有公共點，轉化為方程無根，再利用判別式求解即可.

設直線的方程為：，即.

聯立

（1）因為直線與拋物線只有一個公共點，

等價于方程只有一個根.

當時，，符合題意.

當時，，

整理得：，解得或.

綜上可得：或或.

（2）因為直線與拋物線有兩個公共點，

等價于方程只有兩個根.

所以，，

即，解得且.

（3）因為直線與拋物線沒有公共點，

等價于方程無根.

所以，，

即，解得或.