Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面為上一點，且．

（1）求的長；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示出，再根據垂直關系對應的向量數量積為零，即可計算出的坐標，從而可求的長度；

（2）根據兩個平面法向量夾角的余弦值，再結合幾何體中二面角具體是鈍角還是銳角，從而確定出二面角余弦值的大小.

解（1）如圖，連接，因為菱形，

則，且．

以為坐標原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系．

因，故，，

所以．

由知，，

從而，即．

設，則．

因為，故，

即，所以 (舍去)，即．

（2）由（1）知，．

設平面的法向量為，平面的法向量為，

由，得故可取，

由，得故可取，

從而法向量的夾角的余弦值為，

故所求二面角的余弦值為．