Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先求解導數，再結合導數式特點，進行分類討論，可得單調性；

（2）結合極值點的特征，把目標式中雙變量轉化為單變量，結合函數單調性可證.

（1）解：由題得，其中，

考察，，其中對稱軸為，.

若，則，

此時，則，所以在上單調遞增；

若，則，

此時在上有兩個根，，且，

所以當時，，則，單調遞增；

當時，，則，單調遞減；

當時，，則，單調遞增，

綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）證明：由（1）知，當時，有兩個極值點，，且，，

所以

.

令，，則只需證明，

由于，故在上單調遞減，所以.

又當時，，，

故，

所以，對任意的，.

綜上，可得.