Question

【題目】如圖，某市建有貫穿東西和南北的兩條垂直公路，，在它們交叉路口點處的東北方向建有一個荷花池，荷花池的外圍是一條環形公路，荷花池中的固定觀景臺位于兩條垂直公路的角平分線上，與環形公路的交點記作．游客游覽荷花池時，需沿公路先到達環形公路處.為了分流游客，方便游客游覽荷花池，計劃從靠近公路，的環形公路上選，兩處（，關于直線對稱）修建直達觀景臺的玻璃棧道，．以，所在的直線為，軸建立平面直角坐標系，靠近公路，的環形公路可用曲線近似表示，曲線符合函數．

（1）若百米，點到的垂直距離為1百米，求玻璃棧道的總長度；

（2）若要使得玻璃棧道的總長度最小為百米，求觀景臺的位置．

Answer 1

【答案】（1）百米．（2）

【解析】

(1)由百米可得，點到的垂直距離為1百米可得，用平面兩點間的距離公式可求解答案.
(2)根據題意即的最小值為，設，，則
,然后換元求出最值，解出的值.

解：（1）在平面直角坐標系中，設定點，

因為，所以，解得，即點．

因為點到的垂直距離為1百米，所以點；

所以，

又因為，關于直線對稱，點在直線上，

所以．即．

所以玻璃棧道的總長度是百米．

（2）在平面直角坐標系中，，設定點，

動點，因為，關于直線對稱，

點在直線上，所以．

，則，

令，則，

函數的導數，

當時，，

所以在上單調減，所以

函數，圖象對稱軸是，

當時，在區間上單調遞增，無最小值；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

即在時有最小值，

由題意，因為，所以．

所以若要使得玻璃棧道總長度最小為百米，觀景平臺的坐標是．