Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值與函數(shù)g（x）=﹣ 在區(qū)間[1，2]上的最大值互為相反數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)g（x）=﹣ 在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，

故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最大值﹣2，

故函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2，

若0＜a＜1，則當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=logax取最大值0，不滿足條件；

若a＞1，則當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取最大值loga2=2，

解得：a= ，

綜上可得：a= ；

（2）解：若函數(shù)F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數(shù)，

則t=x2﹣mx﹣m在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數(shù)，

且x2﹣mx﹣m＞0在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上恒成立，

即 ≥1﹣ 且（1﹣ ）2﹣m（1﹣ ）﹣m≥0，

解得：m∈[2﹣2 ，2]．

【解析】（1）函數(shù)g（x）=﹣ 當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最大值﹣2，故函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2，進(jìn)而可得a的值；（2）若函數(shù)F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數(shù)，則t=x2﹣mx﹣m在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上是減函數(shù)，且x2﹣mx﹣m＞0在區(qū)間（﹣∞，1﹣ ）上恒成立，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”，以及對(duì)函數(shù)的最值及其幾何意義的理解，了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．