Question

【題目】 某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得25萬元~ 1600萬元的投資收益，現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加，獎金不超過75萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．(即:設獎勵方案函數模型為y=f (x)時，則公司對函數模型的基本要求是:當x∈[25，1600]時，①f(x)是增函數;②f (x) 75恒成立; 恒成立．

(1)判斷函數是否符合公司獎勵方案函數模型的要求，并說明理由;

(2)已知函數符合公司獎勵方案函數模型要求，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 函數模型，不符合公司要求,詳見解析(2) [1，2]

【解析】

（1）依次驗證題干中的條件即可；（2）根據題干得，要滿足三個條件，根據三個條件分別列出式子得到a的范圍，取交集即可.

(1)對于函數模型,

當x∈[25, 1600]時， f (x)是單調遞增函數，則f (x) ≤f (1600) ≤75,顯然恒成立，若函數恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，

綜上所述，函數模型，滿足基本要求①②，但是不滿足③，

故函數模型，不符合公司要求．

(2)當x∈[25，1600]時，單調遞增，

∴最大值∴

設恒成立，∴恒成立，即,

∵，當且僅當x=25時取等號，∴a2≤2+2=4

∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范圍為[1，2]