Question

已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），（

m

-

n

）⊥

m

，且A為銳角．
（Ⅰ） 求角A的大�。�
（Ⅱ） 求函數f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得，利用兩個向量的數量積的定義以及兩個向量垂直的性質可得可得（

m

-

n

）•

m

=0，解得
sin（A-

π

6

） 的值，再由A為銳角求得A的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，化簡f（x）=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，由sinx∈[-1，1]，利用二次函數的性質求得
f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函數f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），可得

m

•

n

=

3

sinA-cosA，
再由（

m

-

n

）⊥

m

，可得（

m

-

n

）•

m

=

m

2-

m

•

n

=1-

3

sinA+cosA=2sin（A-

π

6

）-1=0，
解得 sin（A-

π

6

）=

1

2

．
再由A為銳角得 A-

π

6

=

π

6

，故有A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，
因為x∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，當sinx=

1

2

時，f（x）有最大值

3

2

，
當sinx=-1時，f（x）有最小值-3，所以所求函數f（x）的值域是[-3，

3

2

]．

點評：本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的性質，三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角
函數的單調性，二次函數的性質應用，屬于中檔題．