Question

已知向量

m

=（sinθ，2cosθ），

n

=（

3

，-

1

2

）
（Ⅰ）當θ∈[0，π]時，求函數f（θ）=

m

×

n

的值域；
（Ⅱ）若

m

∥

n

，求sin2θ的值．

Answer 1

分析：（1）先根據向量數量積的定義表示出函數f（θ），然后化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式你，再根據θ的范圍和正弦函數的性質得到答案．
（2）先根據兩向量平行的坐標關系得到θ的正切值，再用二倍角公式化簡sin2θ，再構造出tanθ的關系可解題．

解答：解：（Ⅰ）由f（θ）=

m

×

n

得，
f(θ)=

3

sinθ-cosθ=2sin(θ-

π

6

)
∵θ∈[0，π]，θ-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴f（θ）的值域為[-1，2]；
（Ⅱ）∵

m

∥

n

，∴-

1

2

sinθ=2

3

cosθ，∴tanθ=-4

3

∴sin2θ=

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ

tan2θ+1

=-

8 3

49

．

點評：本題主要考查向量數量積的坐標表示和三角函數的二倍角公式．在高考中向量和三角函數的綜合題是熱點問題，要給予重視．