Question

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，

3

cosωx）且0＜ω＜2，函數(shù)f（x）=m•n，且f（

π

3

）=

3

2

．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數(shù)y=g（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

4

，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式及其在[-

π

3

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=

m

•

n

可求得f（x）=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，f（

π

3

）=

3

2

，可求得sin（

2πω

3

+

π

3

）=0，從而可求得ω；
（Ⅱ）依題意，轉(zhuǎn)化為將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，再將得到的y=sin（

x

2

+

π

3

）+

3

2

的圖象向左平移

π

3

個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，從而得到g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得其在[-

π

3

，

π

3

]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=

m

•

n

=sinωxcosωx+

3

cos²ωx=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，…3分
∵f（

π

3

）=

3

2

，則sin（

2πω

3

+

π

3

）=0，
∴

2πω

3

+

π

3

=kπ，k∈Z，
∴ω=

3

2

k-

1

2

，k∈Z，又0＜ω＜2，
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由題意知，將函數(shù)y=g（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

4

，得到函數(shù)y=f（x）的圖象?將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，再將得到的y=sin（

x

2

+

π

3

）+

3

2

的圖象向左平移

π

3

個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，因此g（x）=sin（

x

2

+

π

2

）+

3

2

=cos

x

2

+

3

2

，…9分
∵

x

2

∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴

3

2

≤cos

x

2

≤1，
故g（x）在[-

π

3

，

π

3

]上的值域為[

3

，1+

3

2

]…12分

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，是三角函數(shù)中的綜合題，屬于難題．