Question

已知向量

m

=（sinωx，1），

n

=（

3

Acosωx，

A

2

cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函數f（x）=

m

•

n

的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的單調遞減區間；
（2）求函數g（x）在[

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）利用兩個向量的數量積的定義、三角函數的恒等變換，化簡函數f（x）的解析式為Asin（2ωx+

π

6

），由最大值求得A，由周期求出ω，從而確定函數f（x）的解析式．
（II）根據y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律 求出函數g（x）=3sin（2x+

π

3

）．（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，即可求得g（x）的單調遞減區間．
（2）當x的范圍，求得2x+

π

3

的范圍，可得sin（2x+

π

3

）的范圍，從而求得g（x）的范圍．

解答：解：（I）函數f（x）=

m

•

n

=

3

Asinωxcosωx+

A

2

cos2ωx=A（

3

2

sinωxcosωx+

1

2

cos2ωx）=Asin（2ωx+

π

6

），…（3分）
因為函數f（x）的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，
所以A=3，函數的周期T=2π，又 T=

2π

ω

，所以ω=

1

2

．   …（5分）
所以 f（x）=3sin（x+

π

6

）．   …（6分）
（II）將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數 y=3sin[（x+

π

6

）+

π

6

]的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數g（x）=3sin（2x+

π

3

）的圖象．       …（8分）
（1）因為函數y=sinx 的單調遞減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，（k∈z ），
所以 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
所以函數g（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，（k∈z）．…（11分）
（2）當x∈[

π

4

，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

5π

6

，

4π

3

]，sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，

1

2

]，g（x）∈[-

3 3

2

，

3

2

]．
所以函數g（x）在[

π

4

，

π

2

]上的值域為[-

3 3

2

，

3

2

]．    …（14分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，三角函數的恒等變換及化簡求值，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域、單調性，屬于中檔題．