Question

【題目】已知函數，，其中a為常數，且曲線在其與y軸的交點處的切線記為，曲線在其與x軸的交點處的切線記為，且．

求，之間的距離；

若存在x使不等式成立，求實數m的取值范圍；

對于函數和的公共定義域中的任意實數，稱的值為兩函數在處的偏差求證：函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見證明

【解析】

求出函數的導數，結合題意求出a的值，求出，的解析式，求出平行線間的距離即可；令，問題轉化為，求出m的范圍即可；

法一：令，，求出函數的導數，根據函數的單調性求出的最小值，證明即可；法二：令，，令，；令，，根據函數的單調性證明即可．

，，

的圖象與坐標軸的交點為，

的圖象與坐標軸的交點為，

由題意得，即，

又，

，，

函數和的圖象在其坐標軸的交點處的切線方程分別為：

，，

兩平行切線間的距離為

由，得，

故在有解，

令，則，

當時，；

當時，，

，

，，

，

故，

即在區間上單調遞減，

故，，

即實數m的取值范圍為

解法一：

函數和的偏差為：，，

，設為的解，則

則當，；當，，

在單調遞減，在單調遞增，

，

，，，

故F，

即函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于

解法二：

由于函數和的偏差：，，

令，；令，，

，，

在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

，，

，

即函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于