【題目】光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發出；如圖，橢圓
與雙曲線
（
，
）有公共焦點，現一光線從它們的左焦點出發，在橢圓與雙曲線間連續反射，則光線經過
次反射后，首次回到左焦點所經過的路徑長為______．
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【題目】某公司生產某種產品，一條流水線年產量為
件，該生產線分為兩段，流水線第一段生產的半成品的質量指標會影響第二段生產成品的等級，具體見下表：
第一段生產的半成品質量指標 |
|
|
|
第二段生產的成品為一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生產的成品為二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生產的成品為三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
從第一道生產工序抽樣調查了
件，得到頻率分布直方圖如圖：
若生產一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質量指標，估算流水線第一段生產的半成品質量指標的平均值；
（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創造的利潤；
（Ⅲ）現在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段，價格是
萬元，使用壽命是
年，安裝這種設備后，流水線第一段半成品的質量指標服從正態分布
，且不影響產量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設備？說明理由.
（參考數據：
，
，
）
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【題目】設命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數x滿足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，且p∧q為真命題，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
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【題目】已知五邊形ABECD有一個直角梯形ABCD與一個等邊三角形BCE構成，如圖1所示，
，且
，將梯形ABCD沿著BC折起，形成如圖2所示的幾何體，且
平面BEC．
求證：平面
平面ADE；
求二面角
的平面角的余弦值．
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【題目】若定義在D上的函數
滿足：對任意
，存在常數
，都有
成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界，已知函數
，
．
求函數
在
上的值域，判斷函數在上是否為有界函數，并說明理由；
若函數在
上是以3為上界的函數，求實數m的取值范圍．
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【題目】已知
兩點分別在
軸和
軸上運動，且
，若動點
滿足
.
（1）求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；
（2）一條縱截距為2的直線
與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程.
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【題目】已知函數
，
，其中a為常數，且曲線
在其與y軸的交點處的切線記為
，曲線
在其與x軸的交點處的切線記為
，且
．
求，之間的距離；
若存在x使不等式
成立，求實數m的取值范圍；
對于函數
和
的公共定義域中的任意實數
，稱
的值為兩函數在處的偏差
求證：函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2．
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【題目】在平面直角坐標系
中，對于點
、直線
，我們稱
為點到直線的方向距離.
（1）設雙曲線
上的任意一點
到直線
，
的方向距離分別為
，求
的值；
（2）設點
、到直線
的方向距離分別為
，試問是否存在實數
，對任意的
都有
成立？說明理由；
（3）已知直線
和橢圓
，設橢圓
的兩個焦點
到直線
的方向距離分別為
滿足
，且直線與
軸的交點為
、與
軸的交點為
，試比較
的長與
的大小.
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