Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知過點的動直線與橢圓的兩個交點為，求的面積S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據直線與圓相切可得，再根據離心率得，（2）設動直線方程，并聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理與弦長公式得，根據點到直線距離公式得三角形的高，代入三角形面積公式得，最后結合基本不等式求取值范圍.

（1）由離心率為,

因為橢圓C的長軸為直徑的圓與直線相切，

所以,

即橢圓的標準方程.

（2）設動直線方程為，點,且，

聯立直線和橢圓方程，

消元得，

則，

因為原點到直線距離為，

則的面積，

令，則,

又（當且僅當時取等號），則，

即的面積S的取值范圍為.