Question

下列四個命題：
（1）函數f（x）在x＞0時是增函數，x＜0也是增函數，所以f（x）是增函數；
（2）若函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則b²-8a＜0且a＞0；
（3）y=x²-2|x|-3的遞增區間為[1，+∞）；
（4）y=1+x和y=

(1+x)2

表示相等函數．
其中正確命題的個數是

0

．

Answer 1

分析：①此命題是假命題，舉反例說明命題錯誤；
②由函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，還可能是其它情形，即可判斷真假；
③討論x的正負化簡絕對值，然后利用二次函數的圖象找出函數的增區間即可判斷此命題的真假；
④根據函數y=1+x和y=

(1+x)2

得到它們表示的對應法則不同，即可判斷．

解答：解：①舉一個例子y=-

1

x

，當x＜0時，函數為增函數，當x＞0時，函數為增函數，但是在x≠0時，函數不單調，所以錯誤；
②由若函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則b²-8a＜0且a＞0，或者b²-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命題錯；
③當x≥0時，y=x²-2x-3，為對稱軸為直線x=1的開口向上的拋物線，所以[1，+∞）為函數的增區間；當x＜0時，y=x²+2x-3，為對稱軸為直線x=-1的開口向上的拋物線，所以[-1，0]為增區間，綜上，y=x²-2|x|-3的遞增區間為[1，+∞）和[-1，0]，故③不正確；
④因為y=1+x和y=

(1+x)2

=|1+x|表示的函數的解析式不同，故命題不正確．
故答案為：0．

點評：此題是一道綜合題，要求學生掌握函數單調性的判斷與證明和二次函數的性質，判斷兩個函數是否為同一函數，會利用舉反例的方法說明一個命題是假命題．