Question

已知函數y=

x

x-1

，給出下列四個命題：
（1）函數圖象關于點（1，1）對稱；
（2）函數圖象關于直線y=2-x對稱；
（3）函數在定義域內單調遞減；
（4）將函數圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后與函數y=

1

x

的圖象重合；
其中錯誤命題的序號為

（3）

．

Answer 1

分析：將函數進行化簡得到y=1+

1

x-1

，利用與函數y=

1

x

的圖象關系，進行分別判斷．

解答：解：函數y=

x

x-1

=1+

1

x-1

．
（1）因為函數y=

1

x

的對稱中心是（0，0），所以函數y=

x

x-1

的對稱中心是（1，1），所以正確．
（2）設函數圖象的任意一點為（x，y），則點關于直線y=2-x對稱的點的坐標為（2-y，2-x），則點（2-y，2-x）滿足函數y=

x

x-1

，所以（2）正確．
（3）因為函數的定義域為{x|x≠1}，所以函數在定義域內不單調，所以（3）錯誤．
（4）將函數圖象向左平移一個單位，得到y=1+

1

x+1-1

=1+

1

x

，然后再向下平移一個單位后，得到y=1+

1

x

-1=

1

x

，所以（4）正確．
故答案為：（3）．

點評：本題主要考查分式函數的圖象和性質，要求熟練掌握分式函數的變化技巧，分子常數化是解決分式函數最常用的方法．