Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）

【解析】

（1）求導得到，計算單調性得到答案.

（2）令，令，則，討論，，兩種情況，分別根據函數的單調性求最值得到答案.

（1），令，得，故，

故，解得．

令得，令得，

故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（2）令，

；令，則，

（ⅰ）當時，因為當時，，，所以，

所以即在上單調遞增．

又因為，所以當時，，從而在上單調遞增，

而，所以，即成立；

（ⅱ）當時，可得在上單調遞增．

因為，，

所以存在，使得，且當時，，

所以即在上單調遞減，又因為，所以當時，，從而在上單調遞減，而，

所以當時，，即不成立；

綜上所述，的取值范圍是．