Question

【題目】如圖，垂直圓O所在的平面，是圓O的一條直徑，C為圓周上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，D為弦的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)垂直圓O所在的平面，有，易證.由線面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理證明.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面，平面的一個(gè)法向量，代入二面角的向量公式求解.

（1）證明：因?yàn)?/span>垂直圓O所在的平面，所以，

因?yàn)?/span>D為弦的中點(diǎn)，O為圓O的圓心，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）如圖所示：

以O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則

從而

設(shè)平面的法向量為，

則，即

令，得.

由（1）可得平面的一個(gè)法向量為

則平面與平面所成銳二面角的余弦值為