【題目】在平面直角坐標系中，若
，
，且
.
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中曲線的左、右頂點分別為
、
，過點
的直線
與曲線交于兩點
，
（不與，重合）.若直線
與直線
相交于點
，試判斷點，，是否共線，并說明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】
第（Ⅰ）問由且
可得點到兩定點的距離之和為常數，可得動點軌跡為橢圓；
第（Ⅱ）問分類討論直線
的方程，斜率不存在時可直接求出所需點的坐標；斜率存在時則先設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程求出交點關系，再求出點
，利用
的關系判斷即可.
解：（Ⅰ）設
，
，則
.
∴動點
的軌跡是以，為焦點的橢圓，
設其方程為
，則
，
，即
，
，
∴
.∴動點的軌跡
的方程為.
（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，：
，不妨設
，
，
∴直線
的方程為
，
令
得
.
∴
.∴點
，
，共線.
②當直線的斜率存在時，設：
，設
，
.
由
消
得
，
由題意知
恒成立，故
，
，
∴直線的方程為
，
令得
.
∴
，
上式中的分子
.
∴
，∴點，，共線.
綜上可知，點，，共線.
輕巧奪冠周測月考直通中考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系中，直線
的參數方程為
，（
為參數）.以原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；
（2）已知與直線平行的直線
過點
，且與曲線交于
兩點，試求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經成為新時尚，同時帶動了垃圾桶的銷售.某垃圾桶生產和銷售公司通過數據分析，得到如下規律：每月生產
只垃圾桶的總成本
由固定成本和生產成本組成，其中固定成本為100萬元，生產成本為
.
（1）寫出平均每只垃圾桶所需成本
關于的函數解析式，并求該公司每月生產多少只垃圾桶時，可使得平均每只所需成本費用最少？
（2）假設該類型垃圾桶產銷平衡（即生產的垃圾桶都能賣掉），每只垃圾桶的售價為
元，滿足
.若當產量為15000只時利潤最大，此時每只售價為300元，試求
的值.（利潤
銷售收入
成本費用）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查某地區老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：
是否需要志愿 性別 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
（1）估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
（3）根據（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由.
P | 0.0 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為
（t為參數，0）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
．
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程；
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB的長度為2
，求直線l的普通方程．
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