Question

（2009•黃浦區二模）已知點P（0，b）是y軸上的動點，點F（1，0）、M（a，0）滿足PM⊥PF，動點N滿足2

PN

+

NM

=

0

．
（1）求動點N所在曲線C的方程．
（2）已知點D（1，2）在曲線C上，若曲線C上兩點A、B（都不同于D點）滿足DA⊥DB，試證明直線AB必過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設動點N（x，y），由于PM⊥PF，動點N滿足2

PN

+

NM

=

0

．用坐標表示向量，可得坐標之間的關系，進而化簡方程即可；
（2）利用DA⊥DB，用坐標表示對應的向量，從而有數量積為0，進而有y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．代入直線AB的方程，即可知直線恒過定點．

解答：解：（1）設動點N（x，y）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1分）
依據題意，有

PN

=(x，y-b)，

PM

=(a，-b)，

PF

=(1，-b)，

NM

=(a-x，-y)．（3分）
又PM⊥PF，2

PN

+

NM

=

0

，則

PM • PF =0 2 PN =- NM

，進一步有

a+b2=0 x=-a y=2b

．
因此，y²=4x（x≥0）．　     （7分）
所以曲線C的方程是y²=4x（x≥0）．　　　　　　　　　　　 　 　　　（8分）
證明　（2）因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于D點的兩點，
可設A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)(y1≠y2，

y

1

與y2都不等于2)，則

DA

=(

y 2 1

4

-1，y1-2)、

DB

=(

y 2 2

4

-1，y2-2)，

AB

=(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

，

y

2

-y1)．                     （10分）
又DA⊥DB，故

DA

•

DB

=0，即(

y 2 1

4

-1)(

y 2 2

4

-1)+(y1-2)(y2-2)=0，
進一步化簡得y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　 　（12分）
由直線AB的法向量為

n

=(

y

1

-y2，

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)，可得直線AB的方程：(y1-y2)•(x-

y_2

4

)+(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)(y-y1)=0，
即x-

y1+y2

4

y+

y1y2

4

=0．把y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20代入此方程，得x-

y1+y2

4

y-

2(y1+y2)

4

-5=0．（14分）
進一步把直線AB的方程化為(x-5)-

y1+y2

4

(y+2)=0，知其恒過定點（5，-2）．（15分）
所以直線AB：x-

y1+y2

4

y-

y1+y2

2

-5=0恒過定點，且定點坐標為（5，-2）．   　（16分）
證畢！

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的位置關系，主要考查軌跡方程的求解，考查直線恒過定點問題，關鍵是用坐標表示向量，利用向量的數量積為0解決，恒過定點應注意其求解的策略．