【題目】已知函數(shù)
，
是常數(shù)．
（Ⅰ）求曲線
在點
處的切線方程，并證明對任意，切線經(jīng)過定點；
（Ⅱ）證明：
時，
有兩個零點
、
，且
．
【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析：
（Ⅰ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，再根據(jù)方程判斷切線經(jīng)過的定點．（Ⅱ）由題意得函數(shù)
在
上都為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得在
上有一個零點
．由于
，則
，利用導(dǎo)數(shù)可得
，再根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)論成立．
試題解析：
（Ⅰ）由條件得
，
∴
，
又
，
∴所求的切線方程為
，
即
．
將切線方程變形為
，
令
時，可得
，
故切線過定點
．
（Ⅱ）函數(shù)的定義域為
，
當
時，
，
∴函數(shù)
在區(qū)間
和
內(nèi)都單調(diào)遞增．
又時，
，
若
且
，則
，
∴在區(qū)間
內(nèi)有一個零點，從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點
．
當
且
時，
，
當
且
時，
，
∴在區(qū)間
內(nèi)有一個零點，從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點．
∵，
∴，
∴
，
∴，
∵在區(qū)間單調(diào)遞增，
∴
，故得
．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應(yīng)用題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值是最小值的
倍，且點
在橢圓
上.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
任作一條直線
，與橢圓交于不同于
點的
、
兩點，與直線
交于
點，記直線
、
、
的斜率分別為
、
、
.試探究
與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知在極坐標系中曲線
的極坐標方程為：
，以極點為坐標原點，以極軸為
軸的正半軸建立直角坐標系，曲線
的參數(shù)方程為：
(
為參數(shù))，點
.
(1)求出曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程；
(2)設(shè)曲線與曲線相交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知點
，
，動點
不在
軸上，直線
、
的斜率之積
．
（Ⅰ）求動點
的軌跡方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點
的兩直線與動點的軌跡分別相交于
、
兩點。是否存在常數(shù)
，使得任意滿足
的直線
恒過線段
的中點？請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.
(1)求動點A的軌跡M的方程;
(2)P為軌跡M上的動點,△PBC的外接圓為☉O1,當點P在軌跡M上運動時,求點O1到x軸的距離的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
,且
為常數(shù)）.
(1)若對于任意的
，都有
成立，求的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，若方程
在
上有且只有一個實根，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
有極值，且導(dǎo)函數(shù)
的極值點是
的零點．
（1）求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）證明：
；
（3）若
，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于
，求的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若
且
，求證： 
.
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