Question

【題目】已知函數有極值，且導函數的極值點是的零點．

（1）求關于的函數關系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

（3）若，這兩個函數的所有極值之和不小于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）通過對，求導可知,進而再求導可知，通過令進而可知，的極小值點為，從而，整理可知，結合 有極值可知有兩個不等的實根，進而可知；（2）通過（1）

構造函數，結合，可知，從而可得結論；（3）通過（1）可知的極小值，利用韋達定理及完全平方關系可知的兩個極值之和為，進而問題轉化為解不等式，因式分解即得結論.

試題解析：（1）由，得，當時，有極小值，的極值點是的零點，，又，故，有極值，故有實根，從而，即，當時，，故在R上是增函數，沒有極值；

當時，有兩個相異的實根，．

列表如下：

x
	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

故的極值點是．從而．因此，定義域為．

（2）由（1）知，．設，則．

當時，，從而在上單調遞增．

因為，所以，故，即．因此．

（3）由（1）知，的極值點是，且，從而

，

記，所有極值之和為，

因為的極值為，所以，．

因為，于是在上單調遞減．

因為，于是，故．因此a的取值范圍為．