Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域內不單調，求實數的取值范圍；

（2）若函數在區間內單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若且，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)對函數求導有，則原問題等價于方程有大于零的實根，結合二次方程根的分布理論可得；

(2)原問題等價于在區間內恒成立，結合均值不等式的結論可得；

(3)當時，不等式顯然成立，當，等價轉化后結合（2）的結論即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）的定義域為

因為在定義域內不單調，所以方程有大于零的實根，

函數的圖像經過點，

，

（2）函數在區間內單調遞增，

在區間內恒成立，即在區間內恒成立

在時取得最小值，

（3）當時，不等式顯然成立，

當，只需證明，令，則只需證明成立，由（2）可知在上是增函數，