Question

【題目】已知函數（）是奇函數.

（1）求實數的值；

（2）若，，求的取值范圍.

（3）若，且在上恒成立，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由函數為奇函數可得，代入即可得的值，再驗證即可；（2）結合（1）中的結論以及可得的值，解不等式即可得的取值范圍；（3）結合（1）中的結論以及可得，可得的解析式，令，，原題意可等價于在上恒成立，利用分離參數思想可得，上恒成立，求出不等式右端的的最小值即可.

（1）∵是奇函數，∴

即，即

當時，，，

是奇函數.

∴.

（2）由（1）知.

又，

∴，

即：，

∴（且）

∴，又

∴化簡得：，∴

∴此時.

（3）∵，，

∴.

∴（*）.

令，

∵，∴.

∴（*）可化為：，.

要使在上恒成立，

只需：在上恒成立.

即：，上恒成立.

即：，

又函數在單減，單增.

∴，∴即

∴.