Question

【題目】對于任意實數a，b，定義max{a，b}= ， 已知在[﹣2，2]上的偶函數f（x）滿足當0≤x≤2時，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有兩個根，則m的取值范圍是（　　）
A.[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]
B.[﹣eln2，0）∪（0，eln2]
C.[﹣2，0）∪（0，2]
D.[﹣e，﹣2）∪（2，e]

Answer 1

【答案】A
【解析】當1≤x≤2時，2x﹣1＞2﹣x，此時f（x）=2x﹣1，
當0≤x≤1時，2x﹣1＜2﹣x，此時f（x）=2﹣x，
即f（x）= ，
若﹣2≤x≤﹣1，則1≤﹣x≤2，此時f（﹣x）=2﹣x﹣1，
∵f（x）是偶函數，
∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，﹣2≤x≤﹣1．
若﹣1≤x≤0，則0≤﹣x≤1，此時f（﹣x）=2﹣x，
∵f（x）是偶函數，
∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x，﹣1≤x≤0．
作出函數f（x）的圖象如圖：
由f（x）﹣mx+1=0得f（x）=mx﹣1，
設g（x）=mx﹣1，
則當m=0時，f（x）與g（x）沒有交點，此時不滿足條件．
當m＞0時，當x=1，f（1）=1，當x=2時，f（2）=3，
當直線經過A（1，1）時，此時m﹣1=1，則m=2，此時g（x）=2x﹣1，
g（2）=3，即直線g（x）=2x﹣1經過A，C點，此時兩個曲線有兩個交點，滿足條件，
當直線y=mx﹣1與f（x）=2x﹣1相切時，
設切點為（k，n），
則f′（k）=2kln2，且2k﹣1=n，
則切線方程為y﹣n=2kln2（x﹣k），
即y=（2kln2）x﹣k2kln2+2k﹣1，
即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k﹣1=﹣1，
即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k=0，
2kln2=m，且﹣kln2+1=0，
即kln2=1，解得k==log2e，
則m==eln2，
此時直線和f（x）只有一個交點，
若時兩個曲線有兩個交點，則eln2＜m≤2，
根據偶函數的對稱性知當m＜0時，﹣2≤m＜eln2，
綜上m的取值范圍是[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]，
故選：A

根據條件先求出當0≤x≤2時，函數f（x）的解析式，然后根據偶函數的性質求出函數在[﹣2，2]上解析式，利用函數與方程之間的關系轉化為兩個函數的相交問題，結合導數的幾何意義求出切線斜率進行求解即可。