Question

【題目】已知的外接圓半徑，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.

（I）求角B和邊長b；

（II）求面積的最大值及取得最大值時的a、c的值，并判斷此時三角形的形狀.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）等邊三角形．

【解析】試題分析：（Ⅰ）運用兩角和的正弦公式將已知等式化簡整理，得到，根據三角函數的誘導公式可得，從而得出，可得，最后由正弦定理可得的長；（Ⅱ）由且，利用余弦定理算出，再根據基本不等式算出，利用三角形的面積公式算出，從而得到當且僅當時， 有最大值，進而得到此時是等邊三角形.

試題解析：（Ⅰ）

，即

,

又, , ，即

又 ……4分

由正弦定理有： ，于是

（Ⅱ）由余弦定理得,

，即，當且僅當時取“=”

，即求面積的最大值為

聯立，解得

又 ∴為等邊三角形.