Question

已知⊙O：，為拋物線的焦點，為⊙O外一點，由作⊙O的切線與圓相切于點，且
（1）求點P的軌跡C的方程
（2）設(shè)A為拋物線準線上任意一點，由A向曲線C作兩條切線AB、AC，其中B、C為切點.求證：直線BC必過定點

Answer 1

（1）（2）見解析

(1)先求出拋物線的焦點M（2，0），設(shè),因為,
然后根據(jù)坐標化建立方程，化簡可得點P的軌跡方程.
(2)拋物線的準線為x=-2,設(shè)A,再根據(jù)，
可得以A為圓心,為半徑的圓的方程為,再與圓O的方程作差可得公共弦所在直線方程，從而可找到直線所過定點.
解：（1）拋物線的焦點M（2，0）………….1分 設(shè)
 ………4分     化簡得方程
P點軌跡為⊙C: …………6分
(2)拋物線準線方程為…………..7分    設(shè)A
⊙C: 化為………..　①
C(4,0),半徑…………..8分    由已知得
以A為圓心,為半徑的圓的方程為
即………..②……………10分
由于BC為兩圓公共弦所在直線  由②－①得BC直線方程…………12分
 得    直線BC過定點…………14分