Question

【題目】已知函數.

（1）當時,討論函數的單調性；

（2）當時,對于任意正實數，不等式恒成立，試判斷實數的大小關系.

Answer 1

【答案】（1）增減；（2）

【解析】

（1）求出導數再討論a即可判斷單調性．（2）設g（x）＝f（x）﹣b，x＞0，求導數判斷單調性求出極值，轉化為g（x）max≤0即可．

（1）f′（x），x＞0，

令f′（x）＝0得，x＝e，

在（0．e）上，f′（x）＞0，即f（x）單調遞增；

在（e，+∞）上，f′（x）＜0，即f（x）單調遞減．

故f（x）在（0，e）單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，

（2）當a＞0時，設g（x）＝f（x）﹣b，x＞0，

∴g′（x），

令g′（x）＝0，得x＝1，

當0＜x＜1時，g′（x）＞0，即g（x）單調遞增，

當x＞1時，g′（x）＜0，即g（x）單調遞減，

∴g（x）max＝g（1）＝a﹣b．

要使不等式恒成立，

只需g（x）max≤0，

即a﹣b≤0，

∴a≤b．

故實數a，b的大小關系為：a≤b．