Question

【題目】已知函數f（x）＝4cosωxsin（ωx）（ω＞0）的最小正周期是π．

（1）求函數f（x）在區間（0，π）上的單調遞增區間；

（2）若f（x0），x0∈[，]，求cos2x0的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，]，[，π）．（2）

【解析】

（1）利用兩角和差的三角公式結合輔助角公式進行化簡，結合周期公式求出ω的值，結合單調性進行求解即可．

（2）根據條件，結合兩角和差的余弦公式進行求解即可．

（1）f（x）＝4cosωx（sinωxcoscosωxsin）

＝4cosωx（sinωxcosωx）＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωxsin2ωx﹣cos2ωx﹣1＝2sin（2ωx）﹣1，

∵f（x）的最小正周期是π，

∴Tπ，得ω＝1，

即f（x）＝2sin（2x）﹣1，

由2kπ2x2kπ，k∈Z

得kπx≤kπ，k∈Z

即函數的增區間為[kπ，kπ]，k∈Z，

∵x∈（0，π），

∴當k＝0時，x，此時0＜x，

當k＝1時，x≤π，此時x＜π，

綜上函數的遞增區間為（0，]，[，π）．

（2）若f（x0），

則2sin（2x0）﹣1，

則sin（2x0），

∵x0∈[，]，∴2x0∈[，π]，

2x0∈[，]，則cos（2x0），

則cos2x0＝cos（2x0）＝cos（2x0）cossin（2x0）sin

．