Question

【題目】已知橢圓的離心率，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線與橢圓交于A,B兩點，在平面上是否存在定點P，使得當直線PA與直線PB的斜率均存在時，斜率之和是與無關的常數？若存在，求出所有滿足條件的定點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由離心率寫出a，c的關系，結合條件求得a與b的關系，再由則橢圓方程可求；

（2）設出A，B，P的坐標，聯立直線與橢圓方程，將斜率之和用坐標表示，利用韋達定理，化簡，并利用多項式的恒等條件（相同次項的系數相等）建立方程，解得P的坐標．

(1) 設橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．

依題意，，于是橢圓的方程為．

(2)設，P(m,n),將，與橢圓方程聯立得

則有

如果存在P（m，n）使得kPA+kPB為定值，那么kPA+kPB的取值將與t無關，

又直線PA,PB的斜率之和為：

當時斜率的和恒為0，解得

綜上所述，所有滿足條件的定點P的坐標為或．