Question

【題目】已知函數.

（1）當時，若函數恰有一個零點，求的取值范圍；

（2）當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2)

【解析】【試題分析】(1)函數的定義域為,當時， ，所以,對分類討論,得到函數的單調區間,由此求得的取值范圍.(2) 令,利用的導數,對分類討論函數的單調區間,利用最大值小于零,來求得的取值范圍.

【試題解析】

（1）函數的定義域為，

當時， ，所以，

①當時， 時無零點，

②當時， ，所以在上單調遞增，

取，則，

因為，所以，此時函數恰有一個零點，

③當時，令，解得，

當時， ，所以在上單調遞減；

當時， ，所以在上單調遞增.

要使函數有一個零點，則即，

綜上所述，若函數恰有一個零點，則或；

（2）令，根據題意，當時， 恒成立，又，

①若，則時， 恒成立，所以在上是增函數，且，所以不符題意.

②若，則時， 恒成立，所以在上是增函數，且，所以不符題意.

③若，則時，恒有，故在上是減函數，于是“對任意，都成立”的充要條件是，即，解得，故.

綜上， 的取值范圍是.