Question

【題目】設，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設，，若對任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設，若對任意給定的，在區間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ求出的導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，進而求得的極大值；

Ⅱ當，時，求出的導數，以及的導數，判斷單調性，去掉絕對值可得，構造函數，求得的導數，通過分離參數，求出右邊的最小值，即可得到a的范圍；

Ⅲ求出的導數，通過單調區間可得函數在上的值域為，由題意分析時，結合的導數得到在區間上不單調，所以，，再由導數求得的最小值，即可得到所求范圍．

Ⅰ，

當時，，在遞增；當時，，在遞減．

則有的極大值為；

Ⅱ當，時，，，

在恒成立，在遞增；

由，在恒成立，在遞增．

設，原不等式等價為，

即，，在遞減，

又，在恒成立，

故在遞增，，

令，，

∴

，在遞增，

即有，即；

Ⅲ，

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減．

又因為，，，

所以，函數在上的值域為．

由題意，當取的每一個值時，

在區間上存在，與該值對應．

時，，，

當時，，單調遞減，不合題意，

當時，時，，

由題意，在區間上不單調，所以，，

當時，，當時， 0'/>

所以，當時，，

由題意，只需滿足以下三個條件：，

，使．

，所以成立由，所以滿足，

所以當b滿足即時，符合題意，

故b的取值范圍為．