Question

某中學經過選拔的三名學生甲、乙、丙參加某大學自主招生考核測試，在本次考核中只有不優秀和優秀兩個等次，若考核為不優秀，則授予0分加分資格；若考核優秀，授予20分加分資格．假設甲、乙、丙考核為優秀的概率分別為

2

3

、

2

3

、

1

2

，他們考核所得的等次相互獨立．
（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學中至少有一名考核為優秀的概率；
（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名同學所得加分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望E（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（1）先求都沒有得優秀的概率，再利用對立事件求出至少有一名考核為優秀的概率；（2）先求出隨機變量ξ的值為0，20，40，60，根據概率公式求出P（ξ=0），
P（ξ=20），P（ξ=40），P（ξ=60），的概率數值，列出分布列，求出數學期望．

解答： 解：∵甲、乙、丙考核為優秀的概率分別為

2

3

、

2

3

、

1

2

，
∴甲、乙、丙考核為不優秀的概率分別為

1

3

、

1

3

、

1

2

，
（1）根據獨立事件同時發生的概率求解方法得出：
在這次考核中，甲、乙、丙三名同學中至少有一名考核為優秀的概率：
1-

1

3

×

1

3

×

1

2

=

17

18

（2）∵隨機變量ξ的值為0，20，40，60
∴P（ξ=0）=

1

18

，
P（ξ=20）=

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

=

5

18

，
P（ξ=40）=

2

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

18

+

2

18

+

2

18

=

8

18

=

4

9

，
P（ξ=60）=

2

3

×

2

3

×

1

2

=

4

18

=

2

9

，
分布列為：

ξ	0	20	40	60
P	1 18	5 18	4 9	2 9

數學期望為：0×

1

18

+20×

5

18

+40×

4

9

+60×

2

9

=

330

9

=

110

3

點評：本題考查了離散型的概率分布，數學期望，分布列，對立事件，相互獨立事件發生的概率，屬于中檔題．