Question

已知函數(shù)f_n（x）=x³-nx-1（x＞0），n∈N^*．
（Ⅰ）求函數(shù)f₃（x）的極值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給予證明；
（Ⅲ）閱讀右邊的程序框圖，請(qǐng)結(jié)合試題背景簡(jiǎn)要描述其算法功能，并求出執(zhí)行框圖所表達(dá)的算法后輸出的n值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,程序框圖

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,算法和程序框圖

分析：（Ⅰ）寫(xiě)出f3（x），求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，得到單調(diào)區(qū)間，從而得到極小值；
（Ⅱ）函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，說(shuō)明存在一個(gè)零點(diǎn)，再判斷f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上單調(diào)遞增，即可得證；
（Ⅲ）程序框圖的算法功能：找出最小的正整數(shù)n，使f_n（x）的零點(diǎn)a_n滿(mǎn)足

n + n+1

2

≥an．
根據(jù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上單調(diào)遞增，判斷當(dāng)n≤3時(shí)，

n + n+1

2

＜an；當(dāng)n≥4時(shí)，

n + n+1

2

＞an．即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f3′(x)＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f3′(x)＜0，函數(shù)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f₃（x）取得唯一的一個(gè)極小值-3，無(wú)極大值；
（Ⅱ）函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
證明如下：∵fn(

n

)=(

n

)3-n

n

-1=-1＜0，fn(

n+1

)=(

n+1

)3-n

n+1

-1=

n+1

-1＞0，fn(

n

)•fn(

n+1

)＜0，
∴函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上必定存在零點(diǎn)．
∵fn′(x)=3x2-n，∴當(dāng)x∈(

n

，

n+1

)時(shí)，fn′(x)＞3(

n

)2-n=2n＞0，
∴f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上的零點(diǎn)最多一個(gè)．
綜上知：函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上存在唯一零點(diǎn)；
（Ⅲ）程序框圖的算法功能：找出最小的正整數(shù)n，使f_n（x）的零點(diǎn)a_n滿(mǎn)足

n + n+1

2

≥an．
∵fn(

n + n+1

2

)=(

n + n+1

2

)3-n•

n + n+1

2

-1=

3 n + n+1

8

-1，
∴當(dāng)0＜n≤3時(shí)，fn(

n + n+1

2

)＜0=fn(an)；
當(dāng)n≥4時(shí)，fn(

n + n+1

2

)＞0=fn(an)．
又∵f_n（x）在區(qū)間(

n

，

n+1

)上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n≤3時(shí)，

n + n+1

2

＜an；當(dāng)n≥4時(shí)，

n + n+1

2

＞an．
∴輸出的n值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)、算法初步等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想．