Question

【題目】已知是圓錐的頂點，是圓錐底面的直徑，是底面圓周上一點，，，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

（1）求與底面所成的角；

（2）求該幾何體的體積；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）設O為BD的中點，連接CO，AO，則∠ACO為AC與底面所成的角，根據幾何法，即可求解；

（2）該幾何體可看作是半個圓錐和三棱錐組合而成，可分別計算體積，再求和；

（3）取DC的中點E，連接OE，AE，則有OE⊥CD，且AE⊥CD，則∠AEO為二面角的平面角，根據幾何法，即可求解二面角.

（1）設O為BD的中點，連接CO，AO，

則∠ACO為AC與底面所成的角，

由AC＝BD＝AD＝AB＝2，所以三角形ABD為正三角形，AO，

有CO＝1，所以，

∠ACO＝60°，AC與底面所成的角為60°；

（2）由題意∠CBD＝60°，

故，

所以該幾何體的體積；

（3）取DC的中點E，連接OE，AE，

因為OC＝OD，所以OE⊥CD，

同理AE⊥CD，

則∠AEO為二面角的平面角，

因為OC＝OB＝BC＝1，

所以正三角形OBC，∠BOC＝60°，∠COD＝120°，∠OCD＝30°，

所以OE，，

所以，

所以二面角的余弦值為