Question

【題目】某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)200度的部分按元/度收費(fèi)，超過(guò)200度但不超過(guò)400度的部分按元/度收費(fèi)，超過(guò)400度的部分按1.0元/度收費(fèi)．

（Ⅰ）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的占，求， 的值；

（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)代替，記為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）見解析.

【解析】試題分析: （1）根據(jù)題意分段表示出函數(shù)解析式;（2）將代入（1）中函數(shù)解析式可得，即，根據(jù)頻率分布直方圖可分別得到關(guān)于的方程,即可得;（3）取每段中點(diǎn)值作為代表的用電量,分別算出對(duì)應(yīng)的費(fèi)用值,對(duì)應(yīng)得出每組電費(fèi)的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)當(dāng)時(shí)， ，所以與之間的函數(shù)解析式為

.

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)， ，則，結(jié)合頻率分布直方圖可知

，∴，

（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

故的概率分布列為

	25	75	140	220	310	410
	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望