Question

【題目】設兩實數不相等且均不為.若函數在時，函數值的取值區間恰為，就稱區間為的一個“倒域區間”.已知函數.

（1）求函數在內的“倒域區間”；

（2）若函數在定義域內所有“倒域區間”的圖象作為函數的圖象，是否存在實數，使得與恰好有2個公共點?若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）根據倒域區間的定義,結合函數的單調性,解方程即可求得的值,可得函數在內的“倒域區間”.

（2）結合倒域區間的定義,先求得函數的解析式.根據兩個函數有兩個交點,即可得關于的方程,分離參數得的表達式,根據打勾函數的圖像及性質即可求得的取值范圍.

（1）

由二次函數性質可知, 在時單調遞減

設,則其值域為

所以,化簡可得

因式分解可得

解得,

因為

所以

即倒域區間為

（2）兩實數不相等且均不為.且滿足時,函數值的取值區間恰為

則,所以與符號相同,即同為正數或同為負數

因為定義域為

所以存在兩種可能:與

當時,由二次函數的圖像可知

所以滿足,即

所以.由（1）可知其倒域區間為

當時,由二次函數的圖像可知

所以滿足,即

所以,根據倒域區間的定義,同理可求得其倒域區間為

綜上可知,

因為

當時,

令

則

畫出與的圖像

可知沒有交點.

若兩個函數恰有2個公共點,則兩個函數圖像在有2個交點.

即在上有兩個不同交點.

化簡可得,即為打鉤函數.

畫出函數圖像如下圖所示.

則當,即時取得最小值,最小值為

當時,,

當時,

因為

所以為有兩個交點,則的取值范圍為