Question

【題目】某投資公司計劃投資，兩種金融產品，根據市場調查與預測，產品的利潤與投資金額的函數關系為，產品的利潤與投資金額的函數關系為.（注：利潤與投資金額單位：萬元）

（1）該公司已有100萬元資金，并全部投入，兩種產品中，其中萬元資金投入產品，試把，兩種產品利潤總和表示為的函數，并寫出定義域；

（2）試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

【答案】（1）；（2）20，28.

【解析】

（1）設投入產品萬元，則投入產品萬元，根據題目所給兩個產品利潤的函數關系式，求得兩種產品利潤總和的表達式.（2）利用基本不等式求得利潤的最大值，并利用基本不等式等號成立的條件求得資金的分配方法.

（1）其中萬元資金投入產品，則剩余的（萬元）資金投入產品，

利潤總和為： ，

（2）因為，

所以由基本不等式得：,

當且僅當時，即：時獲得最大利潤28萬.

此時投入A產品20萬元，B產品80萬元.

【點睛】

本小題主要考查利用函數求解實際應用問題，考查利用基本不等式求最大值，屬于中檔題.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知曲線.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若曲線在點處的切線與曲線相切，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

（1）求得函數的導函數，利用切點坐標和斜率求得切線方程.（2）先求得曲線過點的切線方程，利用切線的斜率等于導數值求得切點的坐標，代入切線方程可求得的值.

由題可得

（1） ，

由直線的點斜式方程有，切線的方程為：

，即：.

（2）函數在的導數為，所以切線方程為，

曲線的導數，因與該曲線相切，

可令，∴，

代入曲線方程可求得切點為，代入切線方程可求得.