Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.

（1）求直線和圓的普通方程；

（2）已知直線上一點，若直線與圓交于不同兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：（1）用代入法消參數可得直線的普通方程，由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；

（2）把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，其中參數的絕對值表示直線上對應點到的距離，因此有，，直接由韋達定理可得，注意到直線與圓相交，因此判別式＞0，這樣可得滿足的不等關系，由此可求得的取值范圍.

詳解：（1）直線的參數方程為，

普通方程為，

將代入圓的極坐標方程中,

可得圓的普通方程為，

（2）解：直線的參數方程為代入圓的方程為 可得：

（*），

且由題意 ，,

.

因為方程（*）有兩個不同的實根，所以，

即，

又，

所以.

因為，所以

所以.