Question

已知點P是橢圓C上任一點，點P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點F（-1，0）的距離為d₂，且

d   2

d1

=

2

2

．直線l與橢圓C交于不同兩點A、B（A，B都在x軸上方），且∠OFA+∠OFB=180°．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)A為橢圓與y軸正半軸的交點時，求直線l方程；
（3）對于動直線l，是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y），得

d2

d1

=

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由已知條件得k_BF=-1，BF：y=-1（x+1）=-x-1，代入

x2

2

+y2=1，得：3x²+4x=0，由此能求出直線l方程．
（3）B關(guān)于x軸的對稱點B₁在直線AF上．設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，得：(k2+

1

2

)x2+2k2x+k2-1=0，由此能證明直線l總經(jīng)過定點M（-2，0）．

解答： （1）解：設(shè)P（x，y），則d1=|x+2|，d2=

(x+1)2+y2

，…（2分）

d2

d1

=

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，
化簡得：

x2

2

+y2=1，
∴橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）解：∵A（0，1），F(xiàn)（-1，0），
∴kAF=

1-0

0-(-1)

=1，∠OFA+∠OFB=180°，
∴k_BF=-1，BF：y=-1（x+1）=-x-1…（6分）
代入

x2

2

+y2=1，得：3x²+4x=0，
∴x=0，或x=-

4

3

，代入y=-x-1得

x=0 y=-1

(舍)，或

x=- 4 3 y= 1 3

，
∴B(-

4

3

，

1

3

)…（8分）
kAB=

1- 1 3

0-(- 4 3 )

=

1

2

，∴AB：y=

1

2

x+1，…（10分）
（3）證明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B關(guān)于x軸的對稱點B₁在直線AF上．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂）
設(shè)直線AF方程：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，
得：(k2+

1

2

)x2+2k2x+k2-1=0，…（13分）
x1+x2=-

2k2

k2+ 1 2

，x1x2=

k2-1

k2+ 1 2

kAB=

y1-y2

x1-x2

，AB：y-y1=

y1-y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，得：x=x1-y1

x1-x2

y1-y2

=

x2y1-x1y2

y1-y2

y₁
=k（x₁+1）-y₂
=k（x₂+1）x=

x2y1-x1y2

y1-y2

=

x2×k(x1+1)+x1×k(x2+1)

k(x1+1)+k(x2+1)

=

2x1x2+x1+x2

x1+x2+2

=

2× k2-1 k2+ 1 2 - 2k2 k2+ 1 2

2- 2k2 k2+ 1 2

=-2，…（15分）
∴直線l總經(jīng)過定點M（-2，0）…（16分）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線總過定點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．