Question

在△ABC中，已知AC=3，三個內角A，B，C成等差數列．
（1）若cosC=

6

3

，求AB；    
（2）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由三個角成等差數列，利用等差數列的性質及內角和定理求出B的度數，根據cosC的值求出sinC的值，再由sinB，AC的長，利用正弦定理即可求出AB的長；
（2）利用余弦定理列出關系式，將AC，cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出面積的最大值．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差數列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵cosC=

6

3

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

3

，
則由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

得：AB=

3× 3 3

3 2

=2；
（2）設角A，B，C的對邊為a，b，c，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+c²-ac，
∴a²+c²=9+ac≥2ac，即ac≤9，
∴S_△ABC=

1

2

ac•sinB≤

9 3

4

，
則△ABC面積的最大值為

9 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．