Question

【題目】已知四面體的棱長滿足，，現將四面體放入一個主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體可以在圓錐中任意轉動，則圓錐側面積的最小值為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

若滿足題意，則四面體的外接球應該內切于圓錐即可.先求得四面體外接球的半徑，再根據該球內切于圓錐，即可求得圓錐側面積的最小值.

若滿足題意，則四面體的外接球應該內切于圓錐即可.

為邏輯清晰，我們將問題主要分為兩步.

第一步：求得四面體外接球半徑.

記外心為，過作平面的垂線，

記外接球球心為，連接.

則外接球半徑.下面求解.

在中，由余弦定理可得，

則由同角三角函數關系可得.

故外接圓半徑.

將的圖形單獨抽取出來，取中點為.如上面由圖所示：

容易知：.

在中，因為，，

故可得，

.

故可得.

又因為，

解得.

在中，容易得.

故可得.

在中，.

故可得四面體外接球半徑.

第二步：根據外接球半徑和圓錐的關系，求得圓錐的母線和底面圓半徑.

若滿足題意，則該外接球應該內切于圓錐，

作出軸截面的平面圖，其中點為的中點，如下所示：

該截面圖中.

由題可知為等邊三角形，故可得；

在中，，解得.

故可得圓錐的底面圓半徑為.母線長.

故可得圓錐的側面積為.

故答案為：.