【題目】已知函數
，
，
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數
有兩個極值點，試判斷函數的零點個數.
【答案】(1) 當
時,
單調遞增,當
時,單調遞減;(2)存在3個零點.
【解析】
(1)先確定的定義域,通過求導數解出其單調區間;
(2)利用函數
有極值,判斷
的取值范圍,進而確定極值點的大小關系,得到的單調區間,最后通過極值
的正負判斷出零點的個數.
(1)由題意可知函數的定義域為
當時:
,所以單調遞增;
當時:
,所以單調遞減;
所以當時,單調遞增,當時,單調遞減.
(2)由題意得:
有兩個不同的零點,即
有兩個不同的根設為
,由(1)得
當時單調遞增;當時單調遞減;有
當時
,所以
時,有
使
且函數在
單調遞減,在
單調遞增,
現只需比較的正負進而確定零點個數.
有
且
且
,即
,
.
令
則
所以函數
在
上單調增,所以
時
時
又
時
時
所以函數有三個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的定義域為
，若滿足
，則稱函數
為“
型函數”.
（1）判斷函數
和
是否為“型函數”，并說明理由；
（2）設函數
，記
為函數的導函數.
①若函數的最小值為1，求
的值；
②若函數為“型函數”，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學組織高二年級開展對某品牌西瓜市場調研活動.兩名同學經過了解得知此品牌西瓜，不僅便宜而且口味還不錯，并且每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（元/千克）滿足關系式：
，其中
，a為常數.已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出此品牌西瓜11千克.若此品牌西瓜的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使該商場日銷售此品牌西瓜所獲得的利潤最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四面體
的棱長滿足
，
，現將四面體放入一個主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體可以在圓錐中任意轉動，則圓錐側面積的最小值為___________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，有三根針和套在一根針上的
個金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.
（1）每次只能移動一個金屬片；
（2）在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.
將個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數記為
，則
__________．
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【題目】已知橢圓
與x軸負半軸交于
，離心率
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線
與橢圓C交于
兩點，連接AM,AN并延長交直線x=4于
兩點，若
，直線MN是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標，如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了解高二年級學生某次數學考試成績的分布情況，從該年級的1120名學生中隨機抽取了100名學生的數學成績，發現都在
內現將這100名學生的成績按照
，
，
，
，
，
，
分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是
A. 頻率分布直方圖中a的值為
B. 樣本數據低于130分的頻率為
C. 總體的中位數保留1位小數估計為
分
D. 總體分布在的頻數一定與總體分布在的頻數相等
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】氣象意義上，從春季進入夏季的標志為：“連續5天的日平均溫度不低于22℃”.現有甲、乙、丙三地連續5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數）：
①甲地：5個數據的中位數為24，眾數為22；
②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為24；
③丙地：5個數據的中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8；
則肯定進入夏季的地區的有（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①
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【題目】平面直角坐標系
中，直線
經過點
，傾斜角為
，以原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為曲線
.
（Ⅰ）寫出直線的參數方程及曲線的普通方程；
（Ⅱ）求直線和曲線的兩個交點到點
的距離的和與積.
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