Question

給出以下五個命題：
①若直線l∥直線a，a?β，則l∥β；
②如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，則l⊥平面γ；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題；
④命題p：“?x₀∈R，使得x₀²+x₀+1＜0”，則?p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；
⑤設函數f（x）=e^x，g（x）=lnx+m，對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，則m＜e-ln2．
其中正確的命題序號為

 

．（將你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：導數的綜合應用,簡易邏輯

分析：①利用空間中直線與平面的位置關系判斷即可；
②利用線面垂直的判斷定理與面面垂直的性質定理可判斷②的正誤；
③寫出原命題的否命題，舉例說明即可；
④利用全稱命題與特稱命題的關系可判斷④的正誤；
⑤依題意，可得f（x₁）_max＞g（x₂）_min，即e²＞ln2+m，解得m＜e²-ln2，從而可判斷⑤的正誤．

解答： 解：①若直線l∥直線a，a?β，則l∥β或l?β，故①錯誤；
②平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，則l⊥平面γ，正確．
理由如下：設α∩γ=m，β∩γ=n，不妨在平面γ內過點P作a⊥m，b⊥n，易知a⊥l，b⊥l，a∩b=P，a?γ，b?λ，于是l⊥平面γ；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是：“若f′（x₀）=0，則函數f（x）在x=x₀處有極值”為假命題，例如函數y=x³，f′（0）=0，但在x=0處無極值；
④命題p：“?x₀∈R，使得x₀²+x₀+1＜0”，則?p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”為真命題；
⑤∵f（x）=e^x與g（x）=lnx+m均為區間[1，2]上的增函數，依題意，對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，則f（x₁）_max＞g（x₂）_min，即e²＞ln2+m，解得m＜e²-ln2，故⑤錯誤．
綜上所述，②④正確，
故答案為：②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查命題間的關系、極值的概念及應用，空間直線與平面、平面與平面之間的位置關系，考查分析判斷及應用能力，屬于難題．