Question

如圖所示，F(xiàn)₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF₁|為半徑的圓與該橢圓的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，若三角形F₂AB為等邊三角形，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  3

  -1
• B、

  2

  +1
• C、

  2 +1

  2

• D、

  3 -1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：連結(jié)AF₁，根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=

3

c．再利用橢圓的定義，得到2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，即可算出該橢圓的離心率．

解答： 解：連結(jié)AF₁，
∵F₁F₂是圓O的直徑，∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等邊三角形，F(xiàn)₁F₂⊥AB，
∴∠AF₁F₂=

1

2

∠AF₂B=30°，
因此，Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=

1

2

|F₁F₂|=c，|F₂A|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c．
根據(jù)橢圓的定義，得2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，解得a=

1+ 3

2

c，
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

3

-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以橢圓焦距F₁F₂為直徑的圓交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在△F₂AB是等邊三角形的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．