Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可得出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為，即，

將代入曲線的方程得，

所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程得，

聯(lián)立，得或，則點(diǎn)、，

因此，線段的中點(diǎn)為；

（2）由（1）得，，

易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

代入的普通方程得，，

因此，.